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板子

Sun, 01 Sep 2030 00:00:00 GMT

快速幂

矩阵快速幂

欧几里得求最大公约数

拓展欧几里得

扩展欧几里得算法可以在求得，的最大公约数的同时，找到整数，（其中一个可能是负数），使它们满足。如果是负数，可以把问题转化成，然后令。

拓扑排序

树状数组

单点修改与区间查询

树状数组区间修改与单点查询

我们用树状数组保存差分即可实现区间修改。

另一个写法是树状数组存相邻个两数之间的差值，在此不做演示。

二维树状数组

二维树状数组差分

由二维差分的知识可知，我们需要维护四个数组。

逆序对

线段树

tire树

线段树

Fri, 26 Jul 2024 00:00:00 GMT

简介

线段树是算法竞赛中常用的用来维护 区间信息 的数据结构。

线段树可以在的时间复杂度内实现单点修改、区间修改、区间查询（区间求和，求区间最大值，求区间最小值）等操作。

线段树将每个长度不为1的区间划分成左右两个区间递归求解，把整个线段划分为一个树形结构，通过合并左右两区间信息来求得该区间的信息。这种数据结构可以方便的进行大部分的区间操作。

过程

有个大小为的数组，要将其转化为线段树，有以下做法：设线段树的根节点编号为，用数组来保存我们的线段树，用来保存线段树上编号为的节点的值，这里每个节点所维护的值就是这个节点所表示的区间总和。如图所示:

实现代码：

关于线段树的空间:如果采用堆式存储（是的左儿子，是的右儿子），若有几个叶子结点，则数组的范围最大为。

分析：容易知道线段树的深度是的，则在堆式储存情况下叶子节点（包括无用的叶子节点）数量为个，又由于其为一棵完全二叉树，则其总节点个数。当然如果你懒得计算的话可以直接把数组长度设为，因为的最大值在时取到，此时节点数为。

而堆式存储存在无用的叶子节点，可以考虑使用内存池管理线段树节点，每当需要新建节点时从池中获取。自底向上考虑，必有每两个底层节点合并为一个上层节点，因此可以类似哈夫曼树地证明，如果有个叶子节点，这样的线段树总共有个节点。其空间效率优于堆式存储，并且是可能的最优情况。

区间修改懒惰标记

如果要求修改区间，把所有包含在区间中的节点都遍历一次、修改一次，时间复杂度无法承受。我们这里要引入一个叫做懒惰标记的东西。

懒惰标记，简单来说，就是通过延迟对节点信息的更改，从而减少可能不必要的操作次数。每次执行修改时，我们通过打标记的方法表明该节点对应的区间在某一次操作中被更改，但不更新该节点的子节点的信息。实质性的修改则在下一次访问带有标记的节点时才进行。仍然以最开始的图为例，我们将执行若干次给区间内的数加上一个值的操作。我们现在给每个节点增加一个t，表示该节点带的标记值。最开始时的情况是这样的：

现在我们准备给[3,5]上的每个数都加上 5。根据前面区间查询的经验，我们很快找到了两个极大区间和。我们直接在这两个节点上进行修改，并给它们打上标记。

我们发现，3号节点的信息虽然被修改了（因为该区间管辖两个数，所以加上的数是），但它的两个子节点却还没更新，仍然保留着修改之前的信息。虽然修改目前还没进行，但当我们要查询这两个子节点的信息时，我们会利用标记修改这两个子节点的信息，使查询的结果依旧准确。

接下来我们查询一下区间上各数字的和。

我们通过递归找到区间，发现该区间并非我们的目标区间，且该区间上还存在标记。这时候就到标记下放的时间了。我们将该区间的两个子区间的信息更新，并清除该区间上的标记。

现在 6、7两个节点的值变成了最新的值，查询的结果也是准确的。

代码实现：

区间查询

一般地，如果要查询的区间是，则可以将其拆成最多为个极大的区间，合并这些区间即可求出的答案。

实现代码：

动态开点线段树

前面讲到堆式储存的情况下，需要给线段树开大小的数组。为了节省空间，我们可以不一次性建好树，而是在最初只建立一个根结点代表整个区间。当我们需要访问某个子区间时，才建立代表这个区间的子结点。这样我们不再使用和代表结点的儿子，而是用和记录儿子的编号。总之，动态开点线段树的核心思想就是：结点只有在有需要的时候才被创建。

单次操作的时间复杂度是不变的，为。由于每次操作都有可能创建并访问全新的一系列结点，因此 m 次单点操作后结点的数量规模是。最多也只需要个结点，没有浪费。

单点修改

区间查询

区间修改也是一样的，不过下放标记时要注意如果缺少孩子，就直接创建一个新的孩子。或者使用标记永久化技巧。

一些优化

这里总结几个线段树的优化：

在叶子节点处无需下放懒惰标记，所以懒惰标记可以不下传到叶子节点。

下放懒惰标记可以写一个专门的函数 pushdown，从儿子节点更新当前节点也可以写一个专门的函数 maintain（或者对称地用 pushup），降低代码编写难度。

标记永久化：如果确定懒惰标记不会在中途被加到溢出（即超过了该类型数据所能表示的最大范围），那么就可以将标记永久化。标记永久化可以避免下传懒惰标记，只需在进行询问时把标记的影响加到答案当中，从而降低程序常数。具体如何处理与题目特性相关，需结合题目来写。这也是树套树和可持久化数据结构中会用到的一种技巧。

模板例题

【模板】线段树 1 - 洛谷

https://www.luogu.com.cn/problem/P3372

【模板】线段树 2 - 洛谷

https://www.luogu.com.cn/problem/P3373

并查集

Mon, 11 Mar 2024 00:00:00 GMT

什么是并查集

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。

并查集的思想是用一个数组表示了整片森林（parent），树的根节点唯一标识了一个集合，我们只要找到了某个元素的的树根，就能确定它在哪个集合里。

并查集支持两种操作：

合并（Union）：把两个不相交的集合合并为一个集合。

查询（Find）：查询两个元素是否在同一个集合中。

适用条件

并查集用在一些有个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这个过程看似并不复杂，但数据量极大，若用其他的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受，也无法在短时间内计算出结果，所以只能用并查集来处理。

初始化

每一个祖先都是自己。

查询操作

我们用递归的写法实现对代表元素的查询：一层一层的访问父节点，直至根节点（根节点的标志就是父节点是本身）。要判断两个元素是否属于同一个集合，只需要看它们的根节点是否相同即可。

合并操作

先找到两个集合的根节点，然后将前者的父节点设为后者即可。当然也可以将后者的父节点设为前者。

下面我们举个例子来具体说明这些操作:

如图一，开始时我们有一些散乱的无连接的点集，我们将其初始化为7个集合，即每个点的根节点均为自己本身。

图一

接着我查询1，2号是否在同一个集合下，发现不是。接着我们想要将1，2号合并，于是将2号的父节点设为1号；查询4，6号是否在同一个集合下，发现不是，将4，6号合并，将6号的父节点设为4号，如图二。

图二

接着我分别查询3，5号以及3，7号是否在同一个集合下，发现不是，于是将3，5号、3，7号合并，将5号，7号的父节点设为3号，如图三。

图三

同理，将3号的父节点设为1号，如图四。

图四

路径压缩

随着元素的不断加入，集合会变得越来越大，链子也会越来越长，这会对我们的查询操作产生影响，查询的效率降低。我们可以在每次查询的时候将每个经过的结点的父节点设为根节点，下次在查询时就可以节省很多时间。

图五

按秩合并

针对合并函数merge()，往往有两种合并方式，即把节点的父节点设为和把节点的父节点设为，很显然，两种合并方式的结果并不同，合并后整体的查询效率也不同。如图六，绿色和黄色对应两棵树，图中的第一种合并方式下只有8号的查询需要多一步，而第二种方式下除了8号的所有元素查询都要增加一步。

图六

因此，我们需要定义一个判断条件：秩。秩可以是很多因素，比如树高，节点个数，等等。不管选择什么作为秩，合并时都最好要遵循启发式合并的原则，即将小的集合合并到大的集合中。下面以秩为树高来举例。

初始化

按秩合并

trie树

Tue, 06 Aug 2024 00:00:00 GMT

定义

字典树，英文名 trie。顾名思义，就是一个像字典一样的树。

可以发现，这棵字典树用边来代表字母，而从根结点到树上某一结点的路径就代表了一个字符串。

举个例子，表示的就是字符串 caa。

实现

应用

检索字符串

字典树最基础的应用——查找一个字符串是否在 “字典” 中出现过。

于是他错误的点名开始了 - 洛谷

https://www.luogu.com.cn/problem/P2580

维护异或极值

01-trie 是指字符集为的 trie。01-trie 可以用来维护一些数字的异或和，支持修改(删除，重新插入)，和全局加一 (即让其所维护所有数值递增1，本质上是一种特殊的修改操作)。

如果要维护异或和，需要按值从低位到高位建立 trie。

最大异或对 The XOR Largest Pair - 洛谷

https://www.luogu.com.cn/problem/P10471

01 trie树

Thu, 25 Apr 2024 00:00:00 GMT

01 trie树

类似于字典树的做法，将每一个数化为二进制数，看作01串，插入到字典树中。如图1：

图1

典型例题

给一个长为的数列，要求一个，，使得 ^ 最大。

异或的一些性质

0^1=1

1^1=0

0^0=0

p^p=0

p^0=1

自反性：a^b=c，b^c=a

问题解答

首先建好01trie树，以图1为例，然后对于每一个数，在树上跑一遍贪心，即贪心选择与这个数当前位不同的那个节点。

也就是说，尽可能地保证越高的位的异或和为1，（因为高位的一个1比后面的位全为1都要大）

比如对于7，在下面这个插入了0，2，7的树上跑。开始在0号节点，然后看最高位，7的最高位是1，所以为了保证当前位异或和为1，应走0的方向，也就是走到1节点。然后看次高位，7的次高位为1，同理，走0的方向到3号节点，依次类推，得出与7异或的最大值为7。

两道拓展例题

1.第k大异或和

题意：还是给出长为的序列，这次不求最大值了，求第大的^。

做法：考虑二分答案，对于每个二分到的值，遍历数组跑一遍01trie树，看有多少组异或和是大于的，然后根据大于的异或和的组数向上向下二分。

如何计算大于的组数？

遍历数组，对于每一个数,跑一遍01trie，记录比大的异或和的组数。对于的每一位，若为1，则走树上与当前位相反的位置，若为0，则走树上与当前位相同的位置，并将与当前位相反的那个位置的子树大小加到中。

由于每一组大于的二元组都会被计算两次，所以最终的还要除以二。

复杂度。

2.树上的最大异或路径和

题意：给定一棵个点的带权树，寻找树中找两个结点，求最长的异或路径。异或路径指的是指两个结点之间唯一路径上的所有边权的异或。

做法：观察得到，从~的路径的异或值为到根的异或和^到根的异或和。

因此将例题中的转化成节点到根的异或和的值，就可以照着例题的方法做了。

复杂度。

SQL使用教程

Wed, 20 Mar 2024 00:00:00 GMT

SQL (Structured Query Language:结构化查询语言) 是用于管理关系数据库管理系统（RDBMS）。 SQL 的范围包括数据插入、查询、更新和删除，数据库模式创建和修改，以及数据访问控制。

注意：MySQL 在Windows和MacOS系统下不区分大小写，但在Linux 系统下默认区分大小写。但是为了方便使用，我们一般会将关键字全部大写。

创建

创建数据库：CREATE DATABASE 数据库名称;

创建数据库下的表格：CREATE TABLE 数据表名称(列名1 数据类型,列名2 数据类型,...,列名n,数据类型);

创建数据库：CREATE DATABASE 数据库名称; 创建数据库下的shuCREATE TABLE 数据表名称;

USE library; 这一命令表示使用library这一数据库，适用于有多个数据库的情况。

下面是一些常见的数据类型：

数据类型	说明
varchar(最长255)	可变长度的字符串，varchar(10)，10表示最大可分配空间，会根据传过来的数据动态分配。节省空间，但是需要动态分配空间，速度慢。
char(最长255)	定长字符串，可能会导致空间的浪费
int(最长11)	数字中的长整型
bigint	数字中的长整型
float	单精度浮点型数据
double	双精度浮点型数据
date	短日期类型
datetime	长日期类型

对与创建列名的时候，可以设置一些相应的默认格式。比如：

格式	说明
NOT NULL	这一列不能为空
NULL	这一列可以为空
PRIMARY KEY	主键
AUTO_INCREMENT	自动增加数字
UNIQUE	不允许重复

插入

INSERT INTO 数据库名.表格名 (列名1,列名2,…,列名n) VALUES (数值1,数值2,…,数值n)

这样我们就插入了一些数据

其中，DEFAULT表示默认格式。

更新

我们也可以再增加一个列名：ALTER TABLE 数据库名.表格名 ADD 列名数据类型默认条件

更新具体数据：UPDATE 数据库名.表格名 SET 值 WHERE 条件

删除

删除某条数据：DELETE FROM 数据库名.表格名 WHERE 条件

删除表格：DROP TABLE 数据库名.表格名

删除数据库：DROP DATABASE 数据库名

查找

查找全部内容：SELECT * FROM 数据库名.表格名

查找某一列内容：SELECT 列名1，列名2 FROM 数据库名.表格名

查找不同的内容（即去除重复内容）：SELECT DISTINCT 列名1 FROM 数据库名.表格名

查看时排序（默认ASC，即ascending，升序；DESC，descending，降序）： SELECT * FROM 数据库名.表格名 ORDER BY 列名 ASC/DESC

要过滤掉某些信息：SELECT * FROM 数据库名.表格名 WHERE 条件 ORDER BY 列名 ASC/DESC

运算符	说明
=	等于
! = 或 <>	不等于
>	大于
<	小于
> =	大于等于
< =	小于等于
BETWEEN	介于两者之间
IN	在一组值内
LIKE	相似匹配
AND	与
OR	或
NOT 或 !	非

比如想知道这些书分别在哪几天入库：

去重后：

在 SQL 中，通配符与 SQL LIKE 操作符一起使用，下面具体说说LIKE的用法：

通配符	描述
%	替代 0 个或多个字符
_	替代一个字符
[charlist]	字符列中的任何单一字符
[^charlist]或[!charlist]	不在字符列中的任何单一字符